已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(
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已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(
题型:梅州二模
难度:
来源:
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C
1
的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
且垂直于椭圆的长轴,动直线l
2
垂直于直线l
1
,垂足为点P,线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(3)设C
2
与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C
2
上,且满足
QR
•
RS
=0
,求
|
QS
|
的取值范围.
答案
(1)由
e=
3
3
得2a
2
=3b
2
,又由直线l:y=x+2与圆x
2
+y
2
=b
2
相切,
得
b=
2
,
a=
3
,∴椭圆C
1
的方程为:
x
2
3
+
y
2
2
=1
.(4分)
(2)由MP=MF
2
得动点M的轨迹是以l
1
:x=-1为准线,
F
2
为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C
2
的方程为y
2
=4x.(8分)
(3)Q(0,0),设
R(
y
21
4
,
y
1
),S(
y
22
4
,
y
2
)
,
∴
QR
=(
y
21
4
,
y
1
),
RS
=(
y
22
-
y
21
4
,
y
2
-
y
1
)
,
由
QR
•
RS
=0
,得
y
21
(
y
22
-
y
21
)
16
+
y
1
(
y
2
-
y
1
)=0
,∵y
1
≠y
2
∴化简得
y
2
=-
y
1
-
16
y
1
,(10分)
∴
y
22
=
y
21
+
256
y
21
+32≥2
256
+32=64
(当且仅当y
1
=±4时等号成立),
∵
|
QS
|=
(
y
22
4
)
2
+
y
22
=
1
4
(
y
22
+8)
2
-64
,
又∵y
2
2
≥64,∴当y
2
2
=64,即y
2
=±8时
|
QS
|
min
=8
5
,
∴
|
QS
|
的取值范围是
[8
5
,+∞)
.(13分)
举一反三
给定椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是
a
2
+
b
2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为
F(
2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为
3
.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l
1
,l
2
,使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,求l
1
,l
2
的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求
AB
•
AD
的取值范围.
题型:黄埔区一模
难度:
|
查看答案
已知
a
=3
i
+2
j
-
k
,
b
=
i
-
j
+2
k
,则5
a
与3
b
的数量积等于______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
a
=(a
1
,a
2
),
b
=(b
1
,b
2
),丨
a
丨=5,丨
b
丨=6,
a
•
b
=30,则
a
1
+
a
2
b
1
+
b
2
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若正四面体ABCD的棱长为1,M是AB的中点,则
MC
•
MD
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若向量
a
=(2,-3,1)
,
b
=(2,0,3)
,
c
=(0,2,2)
,则
a
•(
b
+
c
)
=33.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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