给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到
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给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到
题型:黄埔区一模
难度:
来源:
给定椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是
a
2
+
b
2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为
F(
2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为
3
.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l
1
,l
2
,使得l
1
,l
2
与椭圆C都只有一个交点,求l
1
,l
2
的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求
AB
•
AD
的取值范围.
答案
(1)由题意可得:
a=
3
,
c=
2
,b=1,∴r=
(
3
)
2
+
1
2
=2.
∴椭圆C的方程为
x
2
3
+
y
2
=1
,其“准圆”的方程为x
2
+y
2
=4;
(2)由“准圆”的方程为x
2
+y
2
=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2,
联立
my=x-2
x
2
3
+
y
2
=1
,消去x得到关于y的一元二次方程(3+m
2
)x
2
+4m+1=0,
∴△=16m
2
-4(3+m
2
)=0,解得m=±1,
故直线l
1
、l
2
的方程分别为:y=x-2,y=-x+2.
(3)由“准圆”的方程为x
2
+y
2
=4,令y=0,解得x=±2,取点A(2,0).
设点B(x
0
,y
0
),则D(x
0
,-y
0
).
∴
AB
•
AD
=(x
0
-2,y
0
)•(x
0
-2,-y
0
)=
(
x
0
-2
)
2
-
y
0
2
,
∵点B在椭圆
x
2
3
+
y
2
=1
上,∴
x
0
2
3
+
y
0
2
=1
,∴
y
0
2
=1-
x
0
2
3
,
∴
AD
•
AB
=
(
x
0
-2
)
2
-1+
x
0
2
3
=
4
3
(
x
0
-
3
2
)
2
,
∵
-
3
<
x
0
<
3
,
∴
0≤
4
3
(
x
0
-
3
2
)
2
<7+4
3
,
∴
0≤
AD
•
AB
<7+4
3
,即
AD
•
AB
的取值范围为
[0,7+4
3
)
举一反三
已知
a
=3
i
+2
j
-
k
,
b
=
i
-
j
+2
k
,则5
a
与3
b
的数量积等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知
a
=(a
1
,a
2
),
b
=(b
1
,b
2
),丨
a
丨=5,丨
b
丨=6,
a
•
b
=30,则
a
1
+
a
2
b
1
+
b
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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若正四面体ABCD的棱长为1,M是AB的中点,则
MC
•
MD
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若向量
a
=(2,-3,1)
,
b
=(2,0,3)
,
c
=(0,2,2)
,则
a
•(
b
+
c
)
=33.
题型:不详
难度:
|
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(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(
AB
-t
OC
)•
OC
=0,求t的值.
题型:江苏
难度:
|
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