给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到

给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到

题型:黄埔区一模难度:来源:
给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,称圆心在原点O、半径是


a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(


2
,0)
,其短轴的一个端点到点F的距离为


3

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,求l1,l2的方程;
(3)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的两相异点,且BD⊥x轴,求


AB


AD
的取值范围.
答案
(1)由题意可得:a=


3
c=


2
,b=1,∴r=


(


3
)2+12
=2.
∴椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1
,其“准圆”的方程为x2+y2=4;
(2)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2,
联立





my=x-2
x2
3
+y2=1
,消去x得到关于y的一元二次方程(3+m2)x2+4m+1=0,
∴△=16m2-4(3+m2)=0,解得m=±1,
故直线l1、l2的方程分别为:y=x-2,y=-x+2.
(3)由“准圆”的方程为x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取点A(2,0).
设点B(x0,y0),则D(x0,-y0).


AB


AD
=(x0-2,y0)•(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02
∵点B在椭圆
x2
3
+y2=1
上,∴
x02
3
+y02=1
,∴y02=1-
x02
3



AD


AB
=(x0-2)2-1+
x02
3
=
4
3
(x0-
3
2
)2

-


3
x0


3

0≤
4
3
(x0-
3
2
)2<7+4


3

0≤


AD


AB
<7+4


3
,即


AD


AB
的取值范围为[0,7+4


3
)
举一反三
已知


a
=3


i
+2


j
-


k


b
=


i
-


j
+2


k
,则5


a
与3


b
的数量积等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
=(a1,a2),


b
=(b1,b2),丨


a
丨=5,丨


b
丨=6,


a


b
=30,则
a1+a2
b1+b2
=______.
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若正四面体ABCD的棱长为1,M是AB的中点,则


MC 


MD 
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
若向量


a
=(2,-3,1)


b
=(2,0,3)


c
=(0,2,2)
,则


a
•(


b
+


c
)
=33.
题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(


AB
-t


OC
)•


OC
=0,求t的值.
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