已知坐标平面内O为坐标原点,OA=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),P是线段OM上一个动点.当PA•PB取最小值时,求OP的坐标,并求cos∠AP
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已知坐标平面内O为坐标原点,OA=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),P是线段OM上一个动点.当PA•PB取最小值时,求OP的坐标,并求cos∠AP
题型:不详
难度:
来源:
已知坐标平面内O为坐标原点,
OA
=(1,5),
OB
=(7,1),
OM
=(1,2)
,P是线段OM上一个动点.当
PA
•
PB
取最小值时,求
OP
的坐标,并求cos∠APB的值.
答案
由题意,可设
OP
=(λ,2λ)
,其中λ∈[0,1],
则
PA
=(1-λ,5-2λ),
PB
=(7-λ,1-2λ)
(4分)
设
f(λ)=
PA
•
PB
,则f(λ)=(1-λ)(7-λ)+(5-2λ)(1-2λ)
=5λ
2
-20λ+12,λ∈[0,1](8分)
又f(λ)在[0,1]上单调递减
∴当λ=1时f(λ)取得最小值,此时P点坐标为(1,2)(12分)
PA
=(0,3),
PB
=(6,-1)
(14分)
∴
cos∠APB=
PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
=
-3
3
37
=-
37
37
.(16分)
举一反三
平面内有四个向量
a
、
b
、
x
、
y
,满足
a
=
y
-
x
,
b
=2
x
-
y
,
a
⊥
b
,
|
a
|=|
b
|=1
(1)用
a
、
b
表示
x
、
y
;
(2)若
x
与
y
的夹角为θ,求cosθ的值.
题型:不详
难度:
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已知向量
a
=(cosx,sinx),
b
=(
2
,
2
)
,若
a
•
b
=
8
5
,且
π
4
<x<
π
2
.
(1)求
cos(x-
π
4
)
和
tan(x-
π
4
)
的值;
(2)求
sin2x(1+tanx)
1-tanx
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知A(3,2)、B(-2,1)、C(1,-1)且
AP
=-2
PB
(1)证明:△ABC是等腰直角三角形
(2)求cos∠APC.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,AB=AC=2BC=4,
求:(1)
BA
•
AC
的值
(2)顶角A的正弦,余弦和正切值.
题型:不详
难度:
|
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设向量
a
=(mx+m-1,-1)
,
b
=(x+1,y)
,m∈R,且
a
⊥
b
(1)把y表示成x的函数y=f(x);
(2)若tanA,tanB是方程f(x)+2=0的两个实根,A,B是△ABC的两个内角,求tanC的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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