在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,1),B(-1,1),若点P满足OP=α•OA+β•OB,其中α,β∈R且2α2+β2=23. 1)求点P的轨
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在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,1),B(-1,1),若点P满足OP=α•OA+β•OB,其中α,β∈R且2α2+β2=23. 1)求点P的轨
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,1),B(-1,1),若点P满足
OP
=α•
OA
+β•
OB
,其中α,β∈R且2α
2
+β
2
=
2
3
.
1)求点P的轨迹C的方程.2)设D(0,2),过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N,且M点在D,N之间,设
DM
=λ
DN
,求λ的取值范围.
答案
1)设P(x,y),由条件
OP
=α•
OA
+β•
OB
,得
α=
x+y
3
β=
2y-x
3
,代入2α
2
+β
2
=
2
3
.
可得
x
2
2
+
y
2
=1
,此即为点P的轨迹C的方程
2)当直线l斜率存在时,设l:y=kx+2,代入椭圆方程得:
(1+2k
2
)x
2
+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N,
所以△>0,解得
k
2
>
3
2
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
由维达定理可得x
1
+x
2
=
-8k
1+2
k
2
,x
1
x
2
=
6
1+2
k
2
由
DM
=λ
DN
可得x
1
=λx
2
代入上式可得
λ+
1
λ
+2 =
(
x
1
+
x
2
)
2
x
1
x
2
=
16
3
-
16
3(1+2
k
2
)
因为
k
2
>
3
2
,所以
2<λ+
1
λ
<
10
3
,解得
1
3
<λ<3
且λ≠1
当直线l斜率不存在时,
λ=
1
3
又因为M点在D,N之间,所以0<λ<1
所以λ的取值范围是
[
1
3
,1)
举一反三
已知向量
a
=(1,x),
b
=(2,1-x)的夹角为锐角,则实数x的取值范围为______.(用区间表示)
题型:不详
难度:
|
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△ABC内接于⊙O:x
2
+y
2
=1(O为坐标原点),且
3
OA
+4
OB
+5
OC
=0
.
(1)求△AOC的面积;
(2)若
OA
=(1,0)
,
OC
=(cos(θ-
π
4
),sin(θ-
π
4
)),θ∈(-
3π
4
,0)
,求sinθ.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,已知
|
AC
|=5
,
|
AB
|=8
,点D在线段AB上,且
|AD|=
5
11
|DB|
,
CD
•
AB
=0
,设∠BAC=θ,
cos(θ+x)=
4
5
,
-π<x<-
π
3
,求sinx的值.
题型:不详
难度:
|
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若向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线
xcosα-ysinα+
1
2
=0
与圆
(x-cosβ
)
2
+(y+sinβ
)
2
=
1
2
的位置关系是______.
题型:宁波模拟
难度:
|
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在△ABC中,AB=4,AC=3,P是边BC的垂直平分线上的一点,则
BC
•
AP
=______.
题型:宝山区二模
难度:
|
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