已知a=(cos3θ2,sin3θ2),b=(cosθ2,-sinθ2),且θ∈[0,π3].求a•b|a+b|的最值.
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已知a=(cos3θ2,sin3θ2),b=(cosθ2,-sinθ2),且θ∈[0,π3].求a•b|a+b|的最值.
题型:不详
难度:
来源:
已知
a
=(cos
3θ
2
,sin
3θ
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),且θ∈[0,
π
3
].求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值.
答案
a
•
b
=cos
3θ
2
cos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ
∵
θ∈[0,
π
3
]∴|
a
+
b
|=
1
2
+
1
2
+2cos2θ
=
2(1+cos2θ)
=
2•2
cos
2
θ
=|2cosθ|=2cosθ
所以
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2
cos
2
θ-1
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ
因为
θ∈[0,
π
3
],所以cosθ∈[
1
2
,1]
,
又函数
y=t-
1
2t
在t∈[
1
2
,1]
上是增函数
当cosθ=1,即θ=0时,
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最大值
1
2
;
当cosθ=
1
2
,即θ=
π
3
时,
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最小值-
1
2
.
举一反三
过点P(4,2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点,且P位于AB两点之间.
(Ⅰ)
AP
=3
PB
,求直线l的方程;
(Ⅱ)求当
AP
•
PB
取得最小值时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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直线l的一个法向量
n
=(cosθ,1)(θ∈R),则直线l倾角α的取值范围是______.
题型:杨浦区二模
难度:
|
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直线y=3的一个单位法向量是______.
题型:不详
难度:
|
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已知向量
a
=(x,
2
y),
b
=(1,0)
,且
(
a
+2
b
)⊥(
a
-2
b
)
.点T(x,y)
(1)求点T的轨迹方程C;
(2)过点(0,1)且以
(2,
2
)
为方向向量的一条直线与轨迹方程C相交于点P,Q两点,OP,OQ所在的直线的斜率分别是k
OP
、k
OQ
,求k
OP
•k
OQ
的值.
题型:不详
难度:
|
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在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则
AB
•
AD
=______.
题型:上海
难度:
|
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