(I)依题意,可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:x=my+p 由⇒y2-2pmy-2p2=0(2分)∴ | ∴•=(x1+p,y1)•(x2+p,y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2 | =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2 | =2p2m2+2p2 |
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当m=0时•的最小值为2p2.(7分) (II)假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,AC的中点为o′,l与以AC为直径的圆 相交于P,Q,PQ中点为H,则o′H⊥PQ,o′的坐标为(,).∵|o′P|=|AC|==(9分) | ∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2=(x12+p2)-(2a-x1-p)2 | =(a-p)x1+a(p-a) |
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∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-p)x1+a(p-a)](13分) 令a-p=0得a=p.此时|PQ|=p为定值.故满足条件的直线l存在, 其方程为x=p(15分) |