试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景,考查线面垂直、二面角等数学知识,考查学生用向量法解决立体几何的能力,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问,连结AC、BD交于O,则在三角形APC中可知,在三角形PBO中,利用三边长,可知,利用线面垂直的判定得平面ABCD,所以建立空间直角坐标系,得到各个点的坐标,得到和平面MNC的法向量的坐标,可求出//,所以平面MNC;第二问,利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐标,利用夹角公式得到夹角的余弦值. 试题解析:设菱形对角线交于点,易知且 又.由勾股定理知, 又 平面 3分 建立如图空间直角坐标系,, ,, , 5分
⑴显然,,平面的法向量 ,由∥,知平面 8分 ⑵设面的法向量为 由 取,得 10分
所以平面与平面的夹角的余弦值为. 12分 |