如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.(2)BC1∥平面CA1D.

题型：不详难度：来源：

如图,已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB₁.

求证:(1)BC₁⊥AB₁.
(2)BC₁∥平面CA₁D.

答案

见解析

解析

【证明】如图,以C₁点为原点,C₁A₁,C₁B₁,C₁C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB₁=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A₁(2,0,0),B₁(0,2,0),
C₁(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,
故BC₁⊥AB₁.
(2)取A₁C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1).
又=(0,-2,-2),
所以=-.
又ED和BC₁不共线,所以ED∥BC₁.
又DE⊂平面CA₁D,BC₁⊄平面CA₁D,
故BC₁∥平面CA₁D.