过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(　　)．A．30°B．45°C．60°D．90°

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过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是(　　)．

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

答案

解析

法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n₁＝(0,1,0)，n₂＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为

＝

，故所求的二面角的大小是45°.

法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.

举一反三

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的棱长都为2，E，F，G为AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)．

A．

B．

C．

D．

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在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．

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在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．

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已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点．

(1)求证：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

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如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B₁E⊥AD₁.
(2)在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小为30°，求AB的长．

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