如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=， AD=1，CD=3，PD=。（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线A

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如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=， AD=1，CD=3，PD=。（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线A

题型：上海市模拟题难度：来源：
如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=， AD=1，CD=3，PD=。
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值。
答案

解：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz则，，
于是，
因为
∴⊥，∴BP⊥BC
∴△PBC为直角三角形
（2）由（1）可得，
于是，
设平面PBC的法向量为则即
取y=1，则，
∴平面PBC的一个法向量为
设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则,
∴直线AP与平面PBC所成角的大小为

举一反三
若l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1，
1
2
，2），且l⊥α，则m=______．
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已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为______．
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向量


a
=（-2，-3，1），


b
=（2，0，4），


c
=（-4，-6，2），下列结论正确的是（　　）
A．


a
∥


b
，


a
⊥


b
B．


a
∥


b
，


a
⊥


c
C．


a
∥


c
，


a
⊥


b
D．以上都不对
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已知向量


a
=（1，1，1），向量


b
满足


a
∥


b
，且(


a
+


b
)⊥（


a
-


b
），则（　　）
A．


a
=


b
B．


a
=-


b
．		C．


a
=


b
或


a
=-


b
．		D．以上都不对
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已知空间三个向量


a
=（1，-2，-17），


b
=（x，2，-4），


c
=（-1，y，3），若它们分别两两垂直，则x=______，y=______．
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