试题分析:解:(1)证明:∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C在面AA1C1C内,∴BC⊥A1C. 2分 在△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=, 由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3, ∴A1C= ∴AC2+A1C2=AA12 ∴AC⊥A1C 5分 ∴A1C⊥平面ABC. 6分 (2)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB两两垂直 ∴如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0,,0) 由此可得D(,,0),E(0,,0),=(,,-1),=(0,,-1). 设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则有令z=1,则x=0,y= ∴=(0,,1) 9分 ∵A1C⊥平面ABC ∴=(0,,0)是平面ABC的一个法向量 10分 ∴ ∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为. 12分 点评:主要是考查了空间中线面位置关系,以及二面角的平面角的求解的综合运用,属于中档题。 |