如图,在三棱锥中,,,点分别是的中点,底面.(1)求证:平面;(2)当时,求直线与平面所成角的大小;(3)当为何值时,在平面内的射影恰好为的重心?
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如图,在三棱锥中,,,点分别是的中点,底面.(1)求证:平面;(2)当时,求直线与平面所成角的大小;(3)当为何值时,在平面内的射影恰好为的重心?
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,
,
,点
分别是
的中点,
底面
.
(1)求证:
平面
;
(2)当
时,求直线
与平面
所成角的大小;
(3)当
为何值时,
在平面
内的射影恰好为
的重心?
答案
(1)证明见解析(2)
与平面
所成的角为
.(3)当
时,三棱锥
为正三棱锥.
在平面
内的射影为
的重心.
解析
(1)证明:
平面
,
.
以
为原点,建立如图所示空间直角坐标系
.
设
,则
.
设
,则
.
为
的中点,
.
,
.
,
平面
.
(2)
,即
,
,
可求得平面
的法向量
.
.
设
与平面
所成的角为
,
则
.
与平面
所成的角为
.
(3)
的重心
,
,
平面
,
.
又
,
.
.
,即
.
反之,当
时,三棱锥
为正三棱锥.
在平面
内的射影为
的重心.
举一反三
如图,已知向量
,可构成空间向量的一个基底,若
,在向量已有的运算法则的基础上,新定义一种运算
,显然
的结果仍为一向量,记作
.
(1) 求证:向量
为平面
的法向量;
(2) 求证:以
为边的平行四边形
的面积等于
;
(3) 将四边形
按向量
平移,得到一个平行六面体
,试判断平行六面体的体积
与
的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥
中,
是正三角形,
,
D
是
的中点,二面角
为120,
,
.取
AC
的中点
O
为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,
BD
交
z
轴于点
E
.
(I)求
B
、
D
、
P
三点的坐标;
(II)求异面直线
AB
与
PC
所成的角;
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
中,
,底面
为直角梯形,
,点
在棱
上,且
.
(1)求异面直线
与
所成的角;
(2)求证:
平面
;
(3)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,正四棱柱
中,底面边长为
,侧棱长为4,点
分别为棱
的中点,
,求点
到平面
的距离
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在长方体
中,点
分别在
上,且
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),则在空间有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等,试根据上述定理,在
时,求平面
与平面
所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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