(1) 如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),A1(2,0,4), B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4). 设E点坐标为(0,2,t),则=(-2,0,t),=(-2,0,-4). ∵BE⊥B1C, ∴·=4+0-4t=0.∴t=1,故CE=1. (2)由(1)得,E(0,2,1),=(-2,0,1), 又=(-2,2,-4),=(2,2,0), ∴·=4+0-4=0, 且·=-4+4+0=0. ∴⊥且⊥,即A1C⊥DB,A1C⊥BE, 又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE. 即A1C⊥平面BED. (3) 由(2)知=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量.又=(0,2,-4), ∴cos〈,〉==. ∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为. |