如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.(1)求证：平面GNM

题型：不详难度：来源：

如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求证：平面GNM∥平面ADC′.
(2)求证：C′A⊥平面ABD.

答案

（1）见解析   （2）见解析

解析

(1)因为M,N分别是BD,BC′的中点,
所以MN∥DC′.
因为MN⊄平面ADC′,
DC′⊂平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.
同理NG∥平面ADC′.
又因为MN∩NG=N,
所以平面GNM∥平面ADC′.
(2)因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB.
又因为AD⊥C′B,且AB∩C′B=B,所以AD⊥平面C′AB.
因为C′A⊂平面C′AB,所以AD⊥C′A.
因为△BCD是等边三角形,AB=AD,
不妨设AB=1,则BC=CD=BD=,可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.
因为AB∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.