(1)因为点E为线段PB的中点,点O为线段AB的中点,所以OE∥PA. 因为PA⊂平面PAC,OE⊄平面PAC, 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC, 因为AC⊂平面PAC,OM⊄平面PAC, 所以OM∥平面PAC. 因为OE⊂平面MOE,OM⊂平面MOE,OE∩OM=O, 所以平面MOE∥平面PAC. (2)因为点C在以AB为直径的⊙O上, 所以∠ACB=90°,即BC⊥AC. 因为PA⊥平面BAC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC. 因为AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PCB, 所以平面PAC⊥平面PCB. (3)如图,以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系C—xyz.
因为∠CBA=30°,PA=AB=2, 所以CB=2cos 30°=,AC=1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC, 所以MD⊥CB,MD=1+=, CD=CB=. 所以P(1,0,2),C(0,0,0),B(0,,0),M. 所以=(1,0,2),=(0,,0). 设平面PCB的法向量m=(x,y,z). 因为 所以,即 令z=1,则x=-2,y=0. 所以m=(-2,0,1). 同理可求平面PMB的一个法向量n=(1,,1). 所以cos〈m,n〉==-. 因为二面角M—BP—C为锐二面角,所以cos θ=. |