如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，求证：平面平面.

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面平面.

答案

详见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ）由底面是菱形，可得再根据线面平行的性质定理可直接证得平面。（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可证得平面，即可证得。（Ⅲ）当时为正三角形，可得，可根据面面的性质定理证得，再根据面面垂直的判定定理可证得面平面。法二时，因为（Ⅱ）中已证，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而证得面平面
试题解析：解：（Ⅰ）因为底面是菱形，
所以.             1分
又因为平面，        3分
所以平面.           4分
（Ⅱ）因为，点是棱的中点，

所以.                                          5分
因为平面平面,平面平面,平面,       7分
所以平面,                                   8分
因为平面,
所以.                                        9分
（Ⅲ）因为，点是棱的中点，
所以.                                          10分
由（Ⅱ）可得，                               11分
所以平面，                                   13分
又因为平面,
所以平面平面.                               14分