如图,在四棱锥中,⊥面,为线段上的点.(Ⅰ)证明:⊥面 ; (Ⅱ)若是的中点,求与所成的角的正切值;(Ⅲ)若满足⊥面,求的值.

题型：不详难度：来源：

如图,在四棱锥中,⊥面,为线段上的点.

(Ⅰ)证明:⊥面 ;
(Ⅱ)若是的中点,求与所成的角的正切值;
(Ⅲ)若满足⊥面,求的值.

答案

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)

解析

试题分析：(Ⅰ)证BD与面PAC内的两条相交线PA和AC都垂直，根据线面垂直可证，利用证角等于的方法可证,详见解析。(Ⅱ) 设,由(1)知，所以GO为GD在面PAC内的摄影，所以即为所求，在直角三角形中利用三角函数即可求出。(Ⅲ)根据(Ⅰ)中条件可求出,在直角三角形中利用勾股定理求出,同理求出,根据已知⊥面可得，根据两直角三角形用公共边可列出方程求解。
试题解析：证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;
(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:,
,所以与面所成的角的正切值是;
(Ⅲ)由已知得到:,因为,在中,,因为⊥面,,所以,设