如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(1)证明:平面;(2)平面MNC与平面MAC夹角的余弦值.

如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(1)证明:平面;(2)平面MNC与平面MAC夹角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,在直三棱柱中,,点分别为的中点.

(1)证明:平面
(2)平面MNC与平面MAC夹角的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2).
解析

试题分析:本题主要以直三棱柱为几何背景,考查空间两条直线的位置关系、二面角、直线与平面的位置关系等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,根据线面平行的判定定理,先在面内找到线,从而证明平面;第二问,建立空间直角坐标系,写出所有点坐标,先找到平面和平面的法向量,利用线面垂直的判定可以确定是平面的法向量,而平面的法向量需要计算求出来,最后利用夹角公式求夹角余弦,注意判断夹角是锐角还是钝角,来判断余弦值的正负.
试题解析:(1)连接

由题意知,点分别为的中点,∴
平面平面
平面.
(2)以点为坐标原点,分别以直线轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

于是
平面,∴,∵为正方形,∴平面
是平面的一个法向量,,设平面的法向量为
,令

设向量和向量的夹角为,则

∴平面与平面的夹角的余弦值是.
举一反三
(如图1)在平面四边形中,中点,,且,现沿折起使,得到立体图形(如图2),又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.

(1)求三棱锥的体积;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线与直线所成角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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如图,在直三棱柱中,,点分别为的中点.

(1)证明:平面
(2)求所成的角.
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如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设分别为的中点.

(1)求证://平面
(2)求证:面平面
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如图,四棱锥中,面,底面是直角梯形,侧面是等腰直角三角形.且

(1)判断的位置关系;
(2)求三棱锥的体积;
(3)若点是线段上一点,当//平面时,求的长.
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已知直线,平面,且,给出下列四个命题:
①若,则
②若,则
③若,则
④若,则
其中真命题的个数为(      )
A.1B.2C.3D.4

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