如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D

题型：不详难度：来源：

如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中点.求证：
（1）BF∥HD₁；
（2）EG∥平面BB₁D₁D；
（3）平面BDF∥平面B₁D₁H.

答案

证明略

解析

 （1）如图所示，取BB₁的中点M，易证四边形HMC₁D₁是平行四边形，∴HD₁∥MC₁.

又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁.
（2）取BD的中点O，连接EO，D₁O，
则OE  DC，
又D₁G DC，∴OE D₁G，
∴四边形OEGD₁是平行四边形，
∴GE∥D₁O.
又D₁O平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D.
（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁平面HB₁D₁，BF、BD平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，
DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H.