P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).(1)求证:PA⊥平面ABCD;(
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P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).(1)求证:PA⊥平面ABCD;(
题型:不详
难度:
来源:
P是平面ABCD外的点,四边形ABCD是平行四边形,
AB
=(2,-1,-4),
AD
=(4,2,0),
AP
=(-1,2,-1).
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)对于向量
a
=(x
1
,y
1
z
1
),
b
=(
x
2
y
2
z
2
),
c
=(
x
3
y
3
z
3
)
,定义一种运算:
(
a
×
b
)•
c
=
x
1
y
2
z
3
+
x
2
y
3
z
1
+
x
3
y
1
z
2
-
x
1
y
3
z
2
-
x
2
z
3
-
x
3
y
2
z
1
,试计算
(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算
(
AB
×
AD
)-
AP
的绝对值的几何意义.
答案
(1)
AP
•
AB
=(2,-1,-4)•(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0
,∴
AP
⊥
AB
,即AP⊥AB.
AP
•
AD
=(-1,2,-1)•(4,2,0)=-4+4+0=0
,即PA⊥AD.
∴PA⊥面ABCD.
(2)
|(
AB
×
AD
)•
AP
|=48
,又
cos〈
AB
•
AD
>=
3
105
,
V=
1
3
|
AB
|•|
AD
|•sin〈
AB
•
AD
>•|
AP
|=16
猜测:
|(
AB
×
AD
)•
AP
|
在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).
举一反三
已知
a
=(2,-1,3),
b
=(-1,4,-2),
c
=(3,2,λ),若
a
、
b
、
c
三向量共面,则实数λ等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:不详
难度:
|
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在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为
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题型:不详
难度:
|
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如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点E是棱AB的中点,点F(0,y,z)是正方体的面AA
1
D
1
D上点,且CF⊥B
1
E,则点F(0,y,z)满足方程( )
A.y-z=0
B.2y-z-1=0
C.2y-z-2=0
D.z-1=0
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点E在棱CD上.
(1)求证:EB
1
⊥AD
1
;
(2)若E是CD中点,求EB
1
与平面AD
1
E所成的角;
(3)设M在BB
1
上,且
BM
M
B
1
=
2
3
,是否存在点E,使平面AD
1
E⊥平面AME,若存在,指出点E的位置,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为______.
题型:不详
难度:
|
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