已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互

已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.(Ⅰ)求a和b的夹角θ的余弦值;(Ⅱ)若向量ka+b与ka-2b互

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已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设


a
=


AB


b
=


AC

(Ⅰ)求


a


b
的夹角θ的余弦值;
(Ⅱ)若向量k


a
+


b
k


a
-2


b
互相垂直,求实数k的值;
(Ⅲ)若向量λ


a
-


b


a


b
共线,求实数λ的值.
答案


a
=


AB
=(1,1,0)


b
=


AC
=(-1,0,2)
.      
(Ⅰ)cosθ=


a


b
|


a
|•|


b
|
=
-1+0+0


2
×


5
=-


10
10



a


b
的夹角θ的余弦值为-


10
10

(Ⅱ) k


a
+


b
=(k-1,k,2)
k


a
-2


b
=(k+2,k,-4)

∵向量k


a
+


b
k


a
-2


b
互相垂直,
(k


a
+


b
)•(k


a
-2


b
)=(k-1,k,2)•(k+2,k,-4)
=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0
k=-
5
2
,或k=2.
(Ⅲ) λ


a
-


b
=(λ+1,λ,-2)


a


b
=(1+λ,1,-2λ)

∵向量λ


a
-


b


a


b
共线,∴存在实数μ,使得λ


a
-


b
=μ(


a


b
)

即(λ+1,λ,-2)=μ(1+λ,1,-2λ)∴





λ+1=μ(λ+1)
λ=μ
-2=-2μλ

∴λ=1,或λ=-1.
举一反三
若A(x,5-x,2x-1),B(4,2,3),当|A


B
|
取最小值时,x的值等于______.
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已知向量


a
=(-4,2,4),


b
=(-6,3,-2)

(1)求|


a
|

(2)求


a


b
夹角的余弦值.
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在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于______.
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设向量


a
=(3,5,-4),


b
=(2,1,8)
,计算


a


b
以及


a


b
所成角的余弦值,并确定λ和μ的关系,使λ


a


b
与z轴垂直.
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已知点A的坐标为(1,3,5),点B的坐标为(3,1,4),则|AB|的长为______.
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