方法一:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz. 则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B"D". 在平面BB"D"D中,延长DP交B"D"于H. 设=(m,m,1)(m>0),由已知<,>=60°, 由•=||||cos<,> 可得2m=.解得m=,所以=(,,1).(4分) (Ⅰ)因为cos<,>==, 所以<,>=45°.即DP与CC"所成的角为45°.(8分) (Ⅱ)平面AA"D"D的一个法向量是=(0,1,0). 因为cos<,>==,所以<,>=60°. 可得DP与平面AA"D"D所成的角为30°.(12分)
方法二:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标 系D-xyz.则=(1,0,0),=(0,0,1),=(-1,-1,1). 设P(x,y,z)则=λ,∴(x-1,y-1,z)=(-λ,-λ,λ) ∴,则=(1-λ,1-λ,λ),由已知,<,>=60°, ∴λ2-4λ+2=0,解得λ=2-,∴=(-1,-1,2-)(4分) (Ⅰ)因为cos<,>==, 所以<,>=45°.即DP与CC"所成的角为45°.(8分) (Ⅱ)平面AA"D"D的一个法向量是=(0,1,0). 因为cos<,>==,所以<,>=60°. 可得DP与平面AA"D"D所成的角为30°.(12分) |