某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°
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某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°
题型:不详
难度:
来源:
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin
2
13°+cos
2
17°-sin 13°cos 17°;
②sin
2
15°+cos
2
15°-sin 15°cos 15°;
③sin
2
18°+cos
2
12°-sin 18°cos 12°;
④sin
2
(-18°)+cos
2
48°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin
2
(-25°)+cos
2
55°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
答案
(1)
(2)见解析
解析
方法一:(1)选择②式,计算如下:
sin
2
15°+cos
2
15°-sin 15°cos 15°=1-
sin 30°=1-
=
.
(2)三角恒等式为sin
2
α
+cos
2
(30°-
α
)-sin
α
cos(30°-
α
)=
.
证明如下:
sin
2
α
+cos
2
(30°-
α
)-sin
α
cos(30°-
α
)
=sin
2
α
+(cos 30°cos
α
+sin 30°sin
α
)
2
-sin
α
(cos 30°cos
α
+sin 30°sin
α
)
=sin
2
α
+
cos
2
α
+
sin
α
cos
α
+
sin
2
α
-
sin
α
cos
α
-
sin
2
α
=
sin
2
α
+
cos
2
α
=
.
方法二:(1)同方法一.
(2)三角恒等式为sin
2
α
+cos
2
(30°-
α
)-sin
α
cos(30°-
α
)=
.
证明如下:
sin
2
α
+cos
2
(30°-
α
)-sin
α
cos(30°-
α
)
=
-sin
α
(cos 30°cos
α
+sin 30°sin
α
)
=
-
cos 2
α
+
+
(cos 60°cos 2
α
+sin 60°sin 2
α
)-
sin
α
cos
α
-
sin
2
α
=
-
cos 2
α
+
+
cos 2
α
+
sin 2
α
-
sin 2
α
-
(1-cos 2
α
)
=1-
cos 2
α
-
+
cos 2
α
=
举一反三
观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( )
A.76
B.80
C.86
D.92
题型:不详
难度:
|
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观察下列等式:
(1+1)=2×1,
(2+1)(2+2)=2
2
×1×3,
(3+1)(3+2)(3+3)=2
3
×1×3×5,
……
照此规律,第n个等式可为
.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是
;
(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=
(用数值作答).
题型:不详
难度:
|
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观察下列不等式
1+
<
,
1+
+
<
,
1+
+
+
<
,
…
照此规律,第五个不等式为
.
题型:不详
难度:
|
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观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律,第五个等式应为
.
题型:不详
难度:
|
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