在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3),两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,
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在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3),两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,
题型:上海
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在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)
2
+y
2
=1(x≥1)和(x-3)
2
+y
2
=1(x≥3),两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面积为4π
1-
y
2
+8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为______.
答案
因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4
π
1-
y
2
+8π,该截面的截面积由两部分组成,
一部分为定值8π,看作是截一个底面积为8π,高为2的长方体得到的,对于4
π
1-
y
2
,看作是把一个半径为1,
高为2π的圆柱平放得到的,如图所示,
这两个几何体与Ω放在一起,根据祖恒原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等,
即Ω的体积为π•1
2
•2π+2•8π=2π
2
+16π.
故答案为2π
2
+16π.
举一反三
在平面几何里,有:“若△ABC的三边长分别为a,b,c内切圆半径为r,则三角形面积为S
△ABC
=
1
2
(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-ACD的四个面的面积分别为S
1
,S
2
,S
3
,S
4
内切球的半径为r,则四面体的体积为______.
题型:吉安二模
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在平面上,若两个正三角形的边长之比1:2,则它们的面积之比为1:4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长之比为1:2,则它的体积比为( )
A.1:4
B.1:6
C.1:8
D.1:9
题型:不详
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在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=
(
.
a
-c
b
d
.
,
.
d
a
c
b
.
)
.
(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.
题型:闸北区一模
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已知a
0
≠0,设方程a
0
x+a
1
=0的一个根是x
1
,则
x
1
=-
a
1
a
0
,方程
a
0
x
2
+
a
1
x+
a
2
=0
的两个根是x
1
,x
2
,则
x
1
+
x
2
=-
a
1
a
0
,由此类推方程
a
0
x
3
+
a
1
x
2
+
a
2
x+
a
3
=0
的三个根是x
1
,x
2
,x
3
,则x
1
+x
2
+x
3
=______.
题型:韶关模拟
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对于函数f(n)=
1
-(-1)
n
2
(n∈N
*
),我们可以发现f(n)有许多性质,如:f(2k)=0(k∈N
*
)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是( )
A.f(n+1)-f(n)=1
B.f(n+k)=f(n)(k∈N
*
)
C.α
f(n)
=f(n+1)+αf(n)(α≠0)
D.α
f(n+1)
=α-(α+1)f(n)(α≠0)
题型:衢州一模
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