已知函数f(x)对其定义域内任意两个实数a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b).试用反证法证明:函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点.
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已知函数f(x)对其定义域内任意两个实数a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b).试用反证法证明:函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点. |
答案
证明:假设函数f(x)的图象与x轴至少有两个交点,…(2分) (1)若f(x)的图象与x轴有两个交点,不妨设两个交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2 ,…(5分) 由已知,函数f(x)对其定义域内任意实数x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2).…(7分) 又根据假设,x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分) 这与f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分) 所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个交点.…(11分) (2)若f(x)的图象与x轴交点多于两个,可同理推出矛盾,…(12分) 所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个以上交点. 综上,函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点…(14分) |
举一反三
若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. |
已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1. |
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点.试根据这一定义,证明下列命题:若直线y=kx+b(k≠0)经过点M(,1),则此直线不能经过两个有理点. |
用反证法证明:已知x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1. |
求证:定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点. |
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