如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=103，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．求证：（1）△ABC∽△EDC；   （2）

题型：不详难度：来源：

如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=

10

3

，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．
求证：（1）△ABC∽△EDC；   （2）DF=EF．

答案

证明：（1）∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线
∴CD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

5

2

．
∴

CE

CD

=

10 3

5 2

=

4

3

=

AC

BC

，∠ACB=∠DCE=90°．
∴△ABC∽△EDC．
（2）因为△ABC∽△EDC
∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．
由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得：CD=AD=DB?∠B=∠DCB，∠A=∠DCA


∴∠DCB=∠CDE?DF=CF；
又因为：∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；
∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E
∴CF=EF．
∴DF=EF．