选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A=ab14，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=3-1，属于特征值5的一个特征向量为α2=11．求矩阵A，并写出A的逆矩阵

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选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

a	b
1	4

，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=

-1

，属于特征值5的一个特征向量为α₂=

．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

答案

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=[

-1

]，即3a-b=3；3分
由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α₂=11，可得

a	b
1	4

，即a+b=5，6分
解得

a=2

b=3

即A=

2	3
1	4

，7分
A的逆矩阵是

10分

举一反三

求在矩阵A=

3	2
2	1

对应的变换作用下得到点（1，0）的平面上点M的坐标．

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选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=

1	a
3	4

对应的变换将点（-2，1）变换成点（0，b），求实数a，b的值．

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计算行列式（要求结果最简）：

sinα	cos(α+ϕ)	cosα
cosβ	sin(β-ϕ)	sinβ
sinϕ	cos2ϕ	cosϕ

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定义如下运算：

x11	x12	x13	…	x1n
x21	x22	x23	…	x2n
x31	x32	x33	…	x3n
…
xm1	xm2	xm3	…	xmn

y11	y12	y13	…	y1k
y21	y22	y23	…	y2k
y31	y32	y33	…	y3k
…
yn1	yn2	yn3	…	ynk

z11	z12	z13	…	z1k
z21	z22	z23	…	z2k
z31	z32	z33	…	z3k
…
zmk	zmk	zmk	…	zmk

其中z_ij=x_i1y_1j+x_i2y_2j+x_i3y_3j+…+x_iny_nj．（1≤i≤m，1≤j≤n，i．j∈N^*）．
现有n²个正数的数表A排成行列如下：（这里用a_ij表示位于第i行第j列的一个正数，i，j∈N^*）

a11	a12	a13	…	a1n
a21	a22	a23	…	a2n
a31	a32	a33	…	a3n
…
an1	an2	an3	…	ann

，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若a24=1，a42=

，a43=

，
（1）求a_ij的表达式（用i，j表示）；
（2）若

a11	a12	a13	…	a1n
a21	a22	a23	…	a2n
a31	a32	a33	…	a3n
…
an1	an2	an3	…	ann

1		3
2		32
3		33
⋮		⋮
n		3n

b11	b12
b21	b22
b31	b32
⋮	⋮
bn1	bn2

，求b_i1．b_i2（1≤i≤n，用i，n表示）

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若a_i，j表示n×n阶矩阵

1	1	1	1	…	1
2	3	4	5	…	⋮
3	5	8		…	⋮
⋮	⋮	⋮	⋮	…	⋮
n	…	…	…	…	an，n

中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a_i+1，j+1=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则

lim

n→∞

a3，n

=______．

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