已知函数f(x)=ex,x∈R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(
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已知函数f(x)=ex,x∈R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=e
x
,x∈R.
(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;
(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx
2
(m>0)公共点的个数.
答案
(1)k=
(2)若0<m<
,曲线y=f(x)与y=mx
2
没有公共点;若m=
,曲线y=f(x)与y=mx
2
有一个公共点;若m>
,曲线y=f(x)与y=mx
2
有两个公共点
解析
(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.
设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x
0
,y
0
)处相切,则有y
0
=kx
0
+1=ln x
0
,k=g′(x
0
)=
,
解得x
0
=e
2
,k=
.
(2)曲线y=e
x
与y=mx
2
的公共点个数等于曲线y=
与直线y=m的公共点个数.
令φ(x)=
,则φ′(x)=
,∴φ′(2)=0.
当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增.
∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=
.
综上所述,当x>0时,大致图像如图所示,
若0<m<
,曲线y=f(x)与y=mx
2
没有公共点;
若m=
,曲线y=f(x)与y=mx
2
有一个公共点;
若m>
,曲线y=f(x)与y=mx
2
有两个公共点
举一反三
设函数f(x)=x-
,对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
题型:不详
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|
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设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=2
x
.若对任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f
2
(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
题型:不详
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|
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若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)="f(x)," f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H(x)= |xe
x
|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为 ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
题型:不详
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设函数
,用二分法求方程
的近似根过程中,计算得到
,则方程的根落在区间
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知函数
,
为偶函数,且当
时,
.记
.给出下列关于函数
的说法:
①当
时,
;②函数
为奇函数;③函数
在
上为增函数;④函数
的最小值为
,无最大值.其中正确的是
A.①②④
B.①③④
C.①③
D.②④
题型:不详
难度:
|
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