试题分析:解:(1)是定义域为R上的奇函数,,得. 此时,,,即是R上的奇函数. 设,则, ,,,在R上为增函数. (2),即,或(舍去), 令,由(1)知在[1,2]上为增函数,∴, , 当时,有最大值;当时,有最小值, ∴的值域. (3)=,, 假设存在满足条件的正整数,则, ①当时,. ②当时,,则,令,则,易证在上是增函数,∴. ③当时,,则,令,则,易证在上是减函数,∴. 综上所述,,∵是正整数,∴=3或4. ∴存在正整数=3或4,使得对恒成立. 点评:本题难度较大。函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助,而求函数的单调性有时可以结合导数来求。 |