对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“梦想区间”．若函数存在“梦想区间”，则的取值范围是（   

题型：不详难度：来源：

对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“梦想区间”．若函数存在“梦想区间”，则的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

答案

D

解析

试题分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可。解：由题意可得函数在区间[m，n]是单调的，所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，故m、n是方程 =x的两个同号的实数根，即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=1＞0，故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-＜a＜1，结合a＞0，可得0＜a＜1故选D
点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题．