试题分析:(1)根据f(-x)=-f(x)可知此函数是奇函数。 (2) 分a>1和0<a<1两种情况研究即可。a>1时,是两个增函数的和,0<a<1时,是两个减函数的和。 从而确定其单调性与底数a有关系。 (3) 当,,又,再令, 然后判断g(-1),g(0)的值,从而判断y=g(x)在(-1,0)上是否存在零点,从而达到证明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。 (1) 为奇函数……………………1分 证明:∵的定义域为R,关于原点对称 …………………2分 又 …………………………………………3分 所以可知为奇函数……………………………………………4分 (2) ∵= ① 当时,单调递增,单调递减, 所以单调递增…………………………………………………6分 ②当时,单调递减,单调递增, 所以单调递减。 综上可知时,单调递增;,单调递减。 ………………………………………………8分 (3)当,,又 设…………………………………9分 ∵ ………………………………………………10分 ∴ ,故存在零点 即方程有根……………………………………………12分 点评:掌握判断函数奇偶性的方法:一要看定义域是否关于原点对称,二要看f(-x)与f(x)的关系。 要掌握函数单调性的定义,它是证明抽象函数单调性的依据。函数的零点与方程的根的关系要搞清楚,它是实现根与零点的判断转化的依据。 |