本试题主要考查了函数的解析式的求解,以及过点的切线方程的问题,和不等式的证明 的综合运用。 (1)第一问中将所求的变量转化为已知的区间,利用已知的关系式求解得到解析式。 (2)在第一问的基础上进一步得到函数的一般式,然后利用导数的思想,只要判定导函数为零,方程有无解即可。 (3)在第二问的得到函数的单调性,以及函数的最大值,然后结合函数的最值得到不等式,再结合等比数列的求和的思想得到。 解:(1)∵ 设,则,∴。…………………2分 (2)设,则, ∴ ∴,即为………4分 ∵ ∴问题转化为判断:关于的方程在,内是否解,即在,内是否有解,……………………6分 令 函数 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是直线, 判别式, 且,, 当时,∵, ∴方程分别在区间上各有一解,即存在5个满足题意的点 ②当时,∵,∴方程在区间上无解。 综上所述:满足题意的点有5个。 …………………………9分 (3)由(2)可知: ∴当时,,在上递增; 当时,,在上递减。 ∴当时,, 又 ∴对任意的,当时,都有, ∴。 ∴ …………………………13分 |