已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:a+b+c≥3.
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已知:a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证:a+b+c≥. |
答案
证明:要证原不等式成立,只需证(a+b+c)2≥3,即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 又ab+bc+ca=1.所以,只需证:a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2-1≥0, 因为ab+bc+ca=1.所以,只需证:a2+b2+c2-(ab+bc+ca)≥0, 只需证:2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ca)≥0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0显然成立, 故原不等式成立. |
举一反三
分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )A.必要条件 | B.充分条件 | C.充要条件 | D.必要或充分条件 |
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已知a1,a2∈R+且a1•a2=1,求证:(1+a1)(1+a2)≥4. |
(1)用综合法或分析法证明:->- (2)用反证法求证:..三个数不可能成等差数列. |
已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. |
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