已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a、b、c、d中至少有一个是负数.
题型:不详难度:来源:
已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1. 求证:a、b、c、d中至少有一个是负数. |
答案
证明:假设a、b、c、d都是非负数, ∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1. ∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd. 这与ac+bd>1矛盾. 所以假设不成立,即a、b、c、d中至少有一个负数. |
举一反三
已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2.求证a,b中至少有一个不小于0. |
已知函数f(x)=x3-x2,x∈R. (Ⅰ)若正数m、n满足m•n>1,证明:f(m)、f(n)至少有一个不小于零; (Ⅱ)若a、b为不相等的正数,且满足f(a)=f(b),求证:a+b>1. |
用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0、x2+(a-1)x+a2=0、x2+2ax-2a=0,当a≤-或a≥-1时,至少有一个方程有实数根. |
关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R), (1)若此方程有实数解,求a的值; (2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根. |
已知x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在反证法证明时假设应为______. |
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