已知数列中,是的前项和,且是与的等差中项,其中是不等于零的常数.(1)求; (2)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
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已知数列中,是的前项和,且是与的等差中项,其中是不等于零的常数.(1)求; (2)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
题型:不详
难度:
来源:
已知数列
中,
是
的前
项和,且
是
与
的等差中项,其中
是不等于零的常数.
(1)求
; (2)猜想
的表达式,并用数学归纳法加以证明.
答案
(1)
,
,
;(2)见解析.
解析
(1)先确定
,然后要以先求出a
1
,进而可以求出a
2
,a
3
;
(2)根据第(1)求出的结果进行猜想.然后再利用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可.
解: (1)由题意
,
当
时,
, ∴
;
当
时,
, ∴
;
当
时,
, ∴
;
(2)猜想:
.
证明:①当
时,由(1)可知等式成立;
②假设
时等式成立,即:
,
则当
时,
,
∴
, ∴
,
即
时等式也成立.
综合①②知:
对任意
均成立.
举一反三
用数学归纳法证明等式
,第二步,“假设当
时等式成立,则当
时有
”,其中
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足
,且对于任意的正整数
都有
成立.
(1)求
;(2)证明:存在大于1的正整数
,使得对于任意的正整数
,
都能被
整除,并确定
的值.
题型:不详
难度:
|
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如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )
A.P(n)对n∈N
*
成立
B.P(n)对n>4且n∈N
*
成立
C.P(n)对n<4且n∈N
*
成立
D.P(n)对n≤4且n∈N
*
不成立
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
}满足
+
=2n+1
(1)求出
,
,
的值;
(2)由(1)猜想出数列{
}的通项公式
;
(3)用数学归纳法证明(2)的结果.
题型:不详
难度:
|
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利用证明“
”时,从假设
推证
成立时,可以在
时左边的表达式上再乘一个因式,多乘的这个因式为
▲
.
题型:不详
难度:
|
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