【题文】(满分14分)已知函数,(),若同时满足以下条件:①在D上单调递减或单调递增;②存在区间[]D,使在[]上的值域是[],那么称()为闭函数.(1)求闭函
题型:难度:来源:
【题文】(满分14分)已知函数
,(
),若同时满足以下条件:
①
在D上单调递减或单调递增;
②存在区间[
]
D,使
在[
]上的值域是[
],那么称
(
)为闭函数.
(1)求闭函数
符合条件②的区间[
];
(2)判断函数
是不是闭函数?若是请找出区间[
];若不是请说明理由;
(3)若
是闭函数,求实数
的取值范围.
(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增还是减函数即可)
答案
【答案】(1)[-1,1];(2)不是,理由略;(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)易证
在R上为减函数,由题意可得
,可解得
,(2)(反证法)假设函数
是闭函数由函数单调增可得到a、b为方程
的两不等实根,由此推导出矛盾来否定假设;(3)由函数的单调性得到关于a、b的两个方程,通过观察易知a、b是一个方程的两不等实根,法一:根据方程根的分布情况得到关系式解出k的范围;法二:将方程的根的个数转化为两函数的图象的交点的个数,利用图象的k的取值范围.
试题解析:(1)
在R上单减,所以区间[
]满足
解得
(2)不是.(反证法)假设
是闭函数,又因
在R上单增,
所以存在区间[
]使得
,
则方程
有两不等实根,即
有两个不等的实根,等价于
至少有2个零点,
令
,则易知
为R上单调递增函数,且
,
,所以
在
有零点,由
在R上单调递增,知
在R上有且只有一个零点,矛盾。所以假设不成立,即
不是闭函数。
(3)(法一)易知
在
上单调递增.
设满足条件②的区间为
,则方程组
有解,
即方程
至少有两个不同的解
也即方程
有两个都不小于
的不等根.
得
,即为所求.
(法二)易知
在
上单调递增.
设满足条件②的区间为
,则方程组
有解,
即方程
至少有两个不同的解
令
则
即函数
的图象与直线
至少有两个不同交点,
如图
有
考点:函数的性质与应用
举一反三
【题文】函数
的单调递增区间是
.
【题文】(本题满分12分)已知定义在
上函数
满足
,且
,如果
是
上的减函数,求
的取值范围.
【题文】(本题满分12分)已知函数
是奇函数(
且
).
①求实数
的值;
②判断
在区间
上的单调性,并加以证明;
③当
且
时,
的值域是
,求实数
与
的值.
【题文】设函数
是定义在
上的奇函数,当
时,
,则关于
的不等式
的解集是
.
【题文】已知函数
,若关于x的不等式
的解集为空集,则实数a的取值范围是
.
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