【题文】(本小题满分12分) 已知函数.(1)判断函数的奇偶性,并证明;(2)若对于任意,不等式恒成立,求正实数的取值范围.

【题文】(本小题满分12分) 已知函数.(1)判断函数的奇偶性,并证明;(2)若对于任意,不等式恒成立,求正实数的取值范围.

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【题文】(本小题满分12分) 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)若对于任意,不等式恒成立,求正实数的取值范围.
答案
【答案】(1)f (x)在定义域上是奇函数;(2) m的取值范围是
解析
【解析】
试题分析:(1)判断奇偶性,首先求定义域,看定义域是否关于原点对称.然后再看是满足还是.若满足,则是奇函数;若满足,则为偶函数.(2)对不等式,应根据函数的单调性转化为普通不等式.所以首先利用导数判断的单调性.由于,当时,恒成立,所以上是减函数,因为x∈[2,4]且m>0,所以,由,即m<(x+1)(x-1)(7-x)在恒成立.设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),,这样即可.
试题解析:(1)由,得
∴函数的定义域为, 1分
时,, 2分
, 3分
所以, 4分
∴f (x)在定义域上是奇函数; 5分
(2)由于
时,恒成立,
所以上是减函数, 6分
因为x∈[2,4]且m>0,所以, 7分
上是减函数,
所以, 8分
因为x∈[2,4],所以m<(x+1)(x-1)(7-x)在恒成立. 9分
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),,则g(x)=-x3+7x2+x-7, 10分
所以g′(x)=-3x2+14x+1=-32
所以当时,g′(x)>0 .
所以y=g(x)在上是增函数,g(x)min=g(2)=15 . 11分
综上知符合条件的m的取值范围是. 12分
考点:1、函数的奇偶性;2、导数的应用.
举一反三
【题文】是定义在上递减的奇函数,当时,的取值范围是(   ).
A.B.C.D.
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【题文】函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为
.
(1)求f(-1)的值;
(2)求当x<0时,函数的解析式;
(3)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数.
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【题文】若定义在上的偶函数满足“对任意,且,都有”,则的大小关系为(    )
A.B.C.D.不确定
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【题文】(本小题满分12分)已知函数)是奇函数.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的值域.
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【题文】已知是定义在上的奇函数,当时,,若,则实数的取值范围是(   )
A.B.
C.D.
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