【题文】已知定义在实数集R上的函数y=满足条件:对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0);(2) 求证:是奇函数;(3) 若时,
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【题文】已知定义在实数集R上的函数y=
满足条件:对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0);(2) 求证:
是奇函数;(3) 若
时,
,求
在
上的值域.
答案
【答案】(1)f(0)=0;(2)证明见解析;(3)证明见解析;值域[-4,2]。
解析
【解析】本题考点是抽象函数及其运用,考查灵活赋值求函数值以及运用恒等式灵活变形证明函数的单调性,利用复合函数的单调性判断方程的根的个数,本题涉及到的考点较多,知识性与技巧性都很强,是知识完善结合的一个好题.
(1)令令x=y=0,代入恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)即可求得.
(2)通过赋值法可知函数的奇偶性
(3)根据定义法证明函数的单调性然后,利用单调性得到值域。
(1)f(0)=0;3分
(2)证明略;9分
(3)证明单调性 13分
值域[-4,2] 15分
举一反三
【题文】若函数
为奇函数,则
.
【题文】已知函数
与函数
的图象关于
对称,
(1)若
则
的最大值为
;
(2)设
是定义在
上的偶函数,对任意的
,都有
,且当
时,
,若关于
的方程
在区间
内恰有三个不同实根,则实数
的取值范围是
。
【题文】偶函数
(
)满足:
,且在区间
与
上分别递减和递增,则不等式
的解集为 ( )
【题文】设函数
是
上的奇函数,且当
时,
,那么当
时,
( )
【题文】设函数
是
上的奇函数,且当
时,
,那么当
时,
( )
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