已知：a是方程x2-3x+1=0的一个根，则2a2-6a+6aa2+1的值是______．

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已知：a是方程x2-3x+1=0的一个根，则2a2-6a+6aa2+1的值是______．

题型：填空题难度：一般来源：不详
已知：a是方程x2-3x+1=0的一个根，则2a2-6a+
6a
a2+1
的值是______．
答案
∵a是方程x2-3x+1=0的一个根，
∴a2-3a+1=0，
∴a2-3a=-1，a2+1=3a，
则2a2-6a+
6a
a2+1

=2（a2-3a）+
6a
a2+1

=2×（-1）+
6a
3a
=0．
故填空答案：0．
举一反三
先化简，再求值
a2-3a
a+2
÷(a2-2a-
5a
a+2
)，其中a=


5
-3．
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已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-
5
4
=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y2-(x1-k-
1
2
)y+（x1-k）（x2-k）+
1
4
=0 ②的根，其中x1、x2为方程①的两个实数根，且x1＜x2，求代数式(
1
a
-
a
a+1
)÷
4
a+1
•(a2-1)的值．
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先化简，再求值：
x-1
x
÷(x-
2x-1
x
)，其中x=


3
+1．
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一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出
1
2
升水，第2次倒出的水量是
1
2
升的
1
3
，第3次倒出的水量是
1
3
升的
1
4
，第4次倒出的水量是
1
4
升的
1
5
，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是______．
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若a1=1-
1
m
，a2=1-
1
a1
，a3=1-
1
a2
，…；则a2011的值为______．（用含m的代数式表示）
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