如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于点C、D,一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另

如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于点C、D,一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另

题型:不详难度:来源:
如图1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于点C、D,一个含45°角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B.
(1)试探索△AOB能否为等腰三角形?若能,请求出点B的坐标;若不能,请说明理由.
(2)如图2,若将题中“直线y=-x+2”、“∠A的另一边与x轴的正半轴相交于点B”分别改为:“直线y=-x+t(t>0)”、“∠A的另一边与x轴的负半轴相交于点B”(如图2),其他条件保持不变,请探索(1)中的问题(只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况)
答案
(1)由题意,把x=0代入y=-x+2,y=0代入y=-x+2,
∴点C、D的坐标分别为(2,0),(0,2),
∴OC=OD=2,CD=2


2
,∠OCD=∠ODC=45°,
当点A在线段CD上时,△AOB为等腰三角形有如下三种情况:
①OA=OB,则∠OBA=∠OAB=45°,因此∠AOB=90°,
点A与点D重合,点B与点C重合,所以点B的坐标为(2,0);
②AB=OB,则∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD,
因此∠ABO=90°,AO=AC,
所以点B为线段的中点,点B的坐标为(1,0);
③AB=AO,由∠CAO=∠ADO+∠AOD得:
∠BAC+45°=∠AOD+45°,
则∠BAC=∠AOD,
又∠OCD=∠ODC,
所以∠ABC=∠OAD,
因此△ABC≌△OAD,
所以AC=OD=2,BC=AD=2


2
-2,
则OB=4-2


2

点B的坐标为(4-2


2
,0),
综上,在滑动过程中△AOB可为等腰三角形,点B的坐标分别为(2,0),(1,0),(4-2


2
,0);

(2)①若OA=OB,则∠OBA=∠OAB=45°,因此∠AOB=90°,点A与点D重合,
则OB=OD=t,所以点B的坐标为(-t,0),故与题意不符;
②若AB=OB,则∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD,
因此∠ABO=90°,不成立;
③若AB=AO,则∠AOB=∠ABO=67.5°,
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°,
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD,
∴∠ABC=∠BAC=67.5°,
∴AD=OD=t,CB=CA=


2
t+t

∴OB=CB-CO=


2
t

∴点B的坐标为(-


2
t,0).
综上,在滑动过程中△AOB可为等腰三角形,点B的坐标分别为(-


2
t,0).
举一反三
如图,直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0),…直线ln⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,…ln分别交于点A1,A2,A3,…An;函数y=2x的图象与直线l1,l2,l3,…ln分别交于点B1,B2,B3,…Bn.如果△OA1B1的面积记作S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,…四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn,那么S2012=______.
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