分析:(1)先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式。 (2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标。 ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论。 解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,,∴OB=3OA=3.。 ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的, ∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3,OD=OA=1。 ∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).
代入解析式得,解得:。 ∴抛物线的解析式为。 (2)①∵,∴对称轴l为x=﹣1。 ∴E点的坐标为(﹣1,0)。 当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4)。 当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP。 ∴。∴MP=3EM.。 ∵P的横坐标为t,∴P(t,)。 ∵P在二象限,∴PM=,EM=, ∴,解得:t1=﹣2,t2=﹣3(与C重合,舍去)。 ∴t=﹣2时,。 ∴P(﹣2,3)。 综上所述,当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3)。 ②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得 ,解得:。 ∴直线CD的解析式为:y=x+1。 设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1),∴NM=t+1。 ∴。 ∵S△PCD=S△PCN+S△PDN, ∴。 ∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为。 |