试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程即可求出A,B横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标; (2)先求出b=8时点B、点C的坐标,再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可; (3)存在,假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似,有条件可知:要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可. (1)在中,当y=0时,x=1或b, ∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧, ∴点B的坐标为(b,0), 当x=0时,y= ∴点C的坐标为(0,); 当b=8时点B、点C的坐标分别为B(8,0),C(0,2),二次函数关系式为 设直线AC的解析式为 ∵图象过点A(1,0),C(0,2) ∴,解得 ∴直线AC的解析式为 当∠CAP=90°时,设直线AP的解析式为 ∵图象过点A(1,0) ∴, ∴直线AP的解析式为 联立与解得,即此时点P坐标为(10,4.5); 当∠ACP=90°时,设直线AP的解析式为 ∵图象过点C(0,2) ∴直线AP的解析式为 联立与解得,即此时点P坐标为(11,7.5); (3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似. ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO, ∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO. ∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴. ∵b>2, ∴AB>OA, ∴∠Q0A>∠ABQ. ∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°, 由QA⊥x轴知QA∥y轴. ∴∠COQ=∠OQA. ∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°. (I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA. ∴AQ=CO=. 由AQ2=OA•AB得:()2=b-1. 解得:b=8±4. ∵b>2, ∴b=8+4. ∴点Q的坐标是(1,2+). (II)当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA, ∴,即OQ2=OC•AQ. 又OQ2=OA•OB, ∴OC•AQ=OA•OB.即•AQ=1×b. 解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意, ∴点Q的坐标是(1,4). ∴综上可知,存在点Q(1,2+)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似. 点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大. |