已知抛物线=++-4.(1)当=2时,求出此抛物线的顶点坐标;(2)求证:无论为什么实数,抛物线都与轴有交点,且经过轴上的一定点;(3)已知抛物线与轴交于A(1
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已知抛物线=++-4.(1)当=2时,求出此抛物线的顶点坐标;(2)求证:无论为什么实数,抛物线都与轴有交点,且经过轴上的一定点;(3)已知抛物线与轴交于A(1
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线
=
+
+
-4.
(1)当
=2时,求出此抛物线的顶点坐标;
(2)求证:无论
为什么实数,抛物线都与
轴有交点,且经过
轴上的一定点;
(3)已知抛物线与
轴交于A(
1
,0)、B(
2
,0)两点(A在B的左边),|
1
|<|
2
|,与
轴交于C点,且S
△ABC
=15.问:过A,B,C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点?试说明理由.如果有,求出其坐标.
答案
(1)(-1,-1)(2)当
≥4时,当
<4时(3)有第四个交点,(1,-6)
解析
解:(1)当
=2时,抛物线为
=
+
,…………………………1分
配方:
=
+
=
+
+1-1
得
=
-1,
∴顶点坐标为(-1,-1);………………………………………………3分
(也可由顶点公式求得)
(2)令
=0,有
+
+
-4=0,………………………………4分
此一元二次方程根的判别式
⊿=
-4·(
-4)=
-
+16=
,…………………5分
∵无论
为什么实数,
≥0,
方程
+
+
-4=0都有解,…………………………………………6分
即抛物线总与
轴有交点.
由求根公式得
=
,………………………………………………7分
当
≥4时,
=
,
1
=
=-2,
2
=
=-
+2;
当
<4时,
=
,
1
=
=-
+2,
2
=
=-2.
即抛物线与
轴的交点分别为(-2,0)和(-
+2,0),
而点(-2,0)是
轴上的定点;…………………………………………8分
(3)过A,B,C三点的圆与该抛物线有第四个交点.…………………9分
设此点为D.∵|
1
|<|
2
|,C点在y轴上,
由抛物线的对称,可知点C不是抛物线的顶点.……………………………10分
由于圆和抛物线都是轴对称图形,
过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形.……………………11分
∵
轴上的两点A、B关于抛物线对称轴对称,
∴过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个
交点D应与C点关于抛物线对称轴对称.……………………………………12分
由抛物线与
轴的交点分别为(-2,0)和(-
+2,0):
当-2<-
+2,即
<4时,…………………………13分
A点坐标为(-2,0),B为(-
+2,0).
即
1
=-2,
2
=-
+2.
由|
1
|<|
2
|得-
+2>2,解得
<0.
根据S
△
ABC
=15,得
AB·OC=15.
AB=-
+2-(-2)=4-
,
OC=|2
-4|=4-2
,
∴
(4-
)(4-2
)=15,
化简整理得
=0,
解得
=7(舍去)或
=-1.
此时抛物线解析式为
=
,
其对称轴为
=
,C点坐标为(0,-6),
它关于
=
的对称点D坐标为(1,-6);………………………………14分
当-2>-
+2,由A点在B点左边,
知A点坐标为(-
+2,0),B为(-2,0).
即
1
=-
+2,
2
=-2.
但此时|
1
|>|
2
|,这与已知条件|
1
|<|
2
|不相符,
∴不存在此种情况.
故第四个交点的坐标为(1,-6).
(如图6)
(1)把
=2代入抛物线,通过配方可求得此抛物线的顶点坐标
(2)令y=0,解方程
+
+
-4,即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标,定点为与k值无关的点;
(3)过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D,根据A、B、C三点坐标,讨论k的范围,表示△ABC的面积,列方程求k,再根据对称性求D点坐标
举一反三
已知抛物线
L:
(1)证明:不论
k
取何值,抛物线
L
的顶点
C
总在抛物线
上;
(2)已知
时,抛物线
L
和
x
轴有两个不同的交点
A
、
B
,求
A
、
B
间距取得最大值时
k
的值;
(3)在(2)
A
、
B
间距取得最大值条件下(点
A
在点
B
的右侧),直线
y=ax+b
是经过点
A
,且与抛物线
L
相交于点
D
的直线. 问是否存在点
D
,使△
ABD
为等边三角形,如果存在,请写出此时直线
AD
的解析式;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系
中,抛物线
与
轴交于点
,与
轴交于
两点,点
的坐标为
,直线
恰好经过B、C两点.
(1)写出点C的坐标;
(2)求出抛物线
的解析式,并写出抛物线的对称轴和点
的坐标;
(3)点
在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为D且
,求点
的坐标.
题型:不详
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已知抛物线
,且满
.则称抛物线
互为“友好抛物线”,则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是( ▲ )
A.y
1
,y
2
开口方向,开口大小不一定相同 .
B.y
1
,y
2
的对称轴相同.
C.如果y
1
与
x
轴有两个不同的交点,则y
2
与
x
轴也有两个不同的交点.
D.如果y
2
的最大值为
m
,则y
1
的最大值为
km.
题型:不详
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轴于点C,A
,B
.动点P从O点出发,沿
轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设
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题型:不详
难度:
|
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