(2011•潼南县)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物
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(2011•潼南县)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物
题型:不详
难度:
来源:
(2011•潼南县)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x
2
+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
:解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),
∵二次函数y=x
2
+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴
,
解得:b=﹣2,c=﹣3;
(2)如图:∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴直线AB的解析式为:y=x+1,
∵二次函数y=x
2
﹣2x﹣3,
∴设点E(t,t+1),则F(t,t
2
﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t
2
﹣2t﹣3)=﹣(t﹣
)
2
+
,
∴当t=
时,EF的最大值为
,
∴点E的坐标为(
,
);
(3)①如图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(
,
),点D的坐标为(1,﹣4)
S
四边形EBFD
=S
△BEF+
S
△DEF
=
×
×(4﹣
)+
×
×(
﹣1)=
;
②如图:
ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m
2
﹣2m﹣3)
则有:m
2
﹣2m﹣2=
,
解得:m
1
=
,m
2
=
,
∴P
1
(
,
),P
2
(
,
),
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P
3
,设P
3
(n,n
2
﹣2n﹣3)
则有:n
2
﹣2n﹣2=﹣
,
解得:n
1
=
,n
2
=
(与点F重合,舍去),
∴P
3
(
,
),
综上所述:所有点P的坐标:P
1
(
,
),P
2
(
,
),P
3
(
,
)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
解析
:(1)由∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(﹣1,0)B(4,5),然后利用待定系数法即可求得b,c的值;
(2)由直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),即可求得直线AB的解析式,又由二次函数y=x
2
﹣2x﹣3,设点E(t,t+1),则可得点F的坐标,则可求得EF的最大值,求得点E的坐标;
(3)①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD,可求出点F的坐标(
,
),点D的坐标为(1,﹣4)由S
四边形EBFD
=S
△BEF+
S
△DEF
即可求得;
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m
2
﹣2m﹣3),可得m
2
﹣2m﹣2=
,即可求得点P的坐标,又由过点F作b⊥EF交抛物线于P
3
,设P
3
(n,n
2
﹣2n﹣3),可得n
2
﹣2n﹣2=﹣
,求得点P的坐标,则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标.
举一反三
已知:如图,在□ EFGH中,点F的坐标是(-2,-1),∠EFG=45°.
(1)求点H的坐标;
(2)抛物线
经过点E、G、H,现将
向左平移使之
经过点F,得到抛物线
,求抛物线
的解析式;
(3)若抛物线
与y轴交于点A,点P在抛物线
的对称轴上运动.请问:是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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(本题满分5分)一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(1).现测得,当水面宽AB =1.6 m时,涵洞顶点O与水面的距离为2.4 m.ED离水面的高FC="1.5" m,求涵洞ED宽是多少?是否会超过1 m?(提示:设涵洞所成抛物线为
)
题型:不详
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(本题满分6分)如图,已知二次函数y = x
-4x + 3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)抛物线y = x
-4x + 3交y轴于点C,
(1)求线段BC所
在直线的解析式.
(2)又已知反比例函数
与BC有两个交点且k为正整数,求
的值.
题型:不详
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已知二次函数
的图象经过点
,和
,反比例
函数
(x>0)的图象经过点(1,2).
(1)求这两个二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象;
(2)若反比例函数
(
)的图象与二次函数
)的图象
在第一象限内交于点
,
落在两个相邻的正整数之间.请你观察图象写出这两个相邻的正整数;
(3)若反比例函数
(
)的图象与二次函数
的
图象在第一象限内的交点为
,点
的横坐标
满足
,试求实数
的取值范围.
题型:不详
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已知:抛物线
经过坐标原点.
(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标;
(2)设点A是抛物线与
轴的另
一个交点,试在
轴上确定一点P,使PA+PB最短,并求出点P的坐标;
(3)过
点A作AC∥BP
交
轴于点C,求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标.
题型:不详
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