(2011•海南)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2(b为常数)经过坐标原点O,且与x轴交于另一点E.其顶点M在第一象限.(1)求该抛物线所对应的函数关

(2011•海南)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2(b为常数)经过坐标原点O,且与x轴交于另一点E.其顶点M在第一象限.(1)求该抛物线所对应的函数关

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(2011•海南)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2(b为常数)经过坐标原点O,且与x轴交于另一点E.其顶点M在第一象限.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)设点A是该抛物线上位于x轴上方,且在其对称轴左侧的一个动点;过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于点B.DE⊥x轴于点C.
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时,求矩形ABCD的周长;
②求矩形ABCD的周长的最大值,并写出此时点A的坐标;
③当矩形ABCD的周长取得最大值时,它的面积是否也同时取得最大值?请判断井说明理由.
答案
解:(1)由题意代入原点到二次函数式
则9﹣b2=0,
解得b=±3,
由题意抛物线的对称轴大于0,

所以b=3,
所以解析式为y=﹣x2+3x;
(2)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD中,∠ECD=60°,
若△BCP与△ECD相似,则△BCP中必有一个角为60°,
下面进行分类讨论:
①当P点直线CB的上方时,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°,
∴△PCB为钝角三角形,
又∵△ECD为锐角三角形,
∴△ECD与△CPB不相似.
从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似;
②当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合,不能构成三角形,
∴在直线CB上不存在满足条件的P点;
③当P点在直线CB的下方时,若∠BCP=60°,则P点与E1点重合,
此时,∠ECD=∠BCE1,而

∴△BCE与△ECD不相似,
若∠CBP=60°,则P点与A点重合,
根据抛物线的对称性,同理可证△BCA与△CED不相似,
若∠CPB=60°,假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似,
∴EF=sin60°×4=2,FD=1,
∴ED==
∴当矩形ABCD的周长取得最大值时,它的面积能同时取得最大值.
解析

举一反三
(2011•常德)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有请求出所有和条件的点P的坐标,若没有,请说明理由.
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(2011?温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是(  )
A.有最小值0,有最大值3B.有最小值﹣1,有最大值0
C.有最小值﹣1,有最大值3D.有最小值﹣1,无最大值

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(2011•宁夏)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.
(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
(2)当MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
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(2011年青海,18,3分)将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后,得到的函数解析式是(  )
A.y=2x2+2B.y=2(x+2)2C.y=(x-2)2D.y=2x2-2

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(2011年青海,28,12分已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m,n且m<n.如图12,若抛物线y=-x2+bx
+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?
(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.
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