如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?

如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由.
(3)若点P为第一象限抛物线上一动点,连接BP、PE,求四边形ABPE面积的最大值,并求此时P点的坐标.
答案
(1)∵抛物线与y轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3,
根据题意得:





a-b+3=0
9a+3b+3=0

解得:





a=-1
b=2

∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3.
解法二、∵设解析式是y=a(x-3)(x+1),
把B(0,3)代入得:3=a(0-3)(0+1),
a=-1,
即y=-1(x-3)(x+1)=-x2+2x+3,
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3.

(2)相似,
证明:过D作DF⊥x轴于F,过B作BG⊥DF于G,
如图,BD=


BG2+DG2
=


12+12
=


2
,BE=


BO2+OE2
=


32+32
=3


2

DE=


DF2+EF2
=


22+42
=2


5

∴BD2+BE2=20,DE2=20,
∴DB2+BE2=DE2
∴△BDE是直角三角形,
∴∠AOB=∠DBE=90°,且
AO
BD
=
BO
BE
=


2
2

∴△AOB△DBE.

(3)设点P的坐标为(x,y),过P作PQ⊥X轴于Q,
SABPE=S△ABO+SBOQP+S△PQE=
1
2
×1×3+
1
2
×(3+y)×x+
1
2
×y×(3-x)
=-
3
2
x2+
9
2
x+6=-
3
2
(x-
3
2
)2+9
3
8

x=
3
2
时,四边形ABPE面积最大,
此时,点P的坐标为(
3
2
15
4
)
举一反三
如图,已知抛物线y=mx2+(3-m)x+m2+m交x轴于C(x1,0),D(x2,0)两点,(x1x2)且(x1+1)(x2+1)=5
(1)试确定m的值;
(2)过点A(-1,-5)和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B,求B点的坐标;
(3)设点P(a,b)是抛物线上点C到点M之间的一个动点(含C、M点),△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形,过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R,连接PR.设△PQR的面积为S,求S与a之间的函数关系式.
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进入三月以来,重庆的气温渐渐升高,羽绒服进入了销售淡季.为此重庆某百货公司对某品牌的A款羽绒服进行了清仓大处理.已知A款羽绒服的销售价格y元与第x天(1≤x≤10,且为整数)之间的关系可用如下表表示:
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唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
做法如下:如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取B关于河岸的对称点B′,连接AB′,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
(1)观察发现
再如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.
作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为______.
(2)实践运用
如图3,已知⊙O的直径MN=1,点A在圆上,且∠AMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.
(3)拓展迁移
如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
①求这条抛物线所对应的函数关系式;
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使△ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号)
跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD之间且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合函数图象,求出t的取值范围.
如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.