已知抛物线y=x2+bx+c经过原点,且在x轴的正半轴上截得的线段长为4,对称轴为直线x=m.过点A的直线绕点A(m,0)旋转,交抛物线于点B(x,y),交y轴
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已知抛物线y=x2+bx+c经过原点,且在x轴的正半轴上截得的线段长为4,对称轴为直线x=m.过点A的直线绕点A(m,0)旋转,交抛物线于点B(x,y),交y轴负半轴于点C,过点C且平行于x轴的直线与直线x=m交于点D,设△AOB的面积为S1,△ABD的面积为S2. (1)求这条抛物线的顶点的坐标; (2)判断S1与S2的大小关系,并证明你的结论. |
答案
(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过原点,且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4, ∴c=0,A(2,0),图象与x轴的另一个交点E的坐标为(4,0),对称轴为直线x=2. ∴抛物线为y=x2+bx经过点E(4,0). ∴b=-4,∴y=x2-4x. ∴顶点坐标为(2,-4). 答:这条抛物线的顶点的坐标是(2,-4).
(2)答:S1与S2的大小关系是S1=S2. 证明:设经过点A(2,0)的直线为y=kx+b(k≠0), ∴0=2k+b.∴k=-b, ∴y=-x+b, ∴点B1的坐标为(x1,-x+b), 点B2的坐标为(x2,-x+b), 当交点为B1时, S1=×2×|-x1+b|=b-x1, S2=×|b|×|2-x1|=b-x1, ∴S1=S2, 当交点为B2时, S1=×2×|-x2+b|=-x2+b, S2=×|b|×|x2-2|=-x2+b, ∴S1=S2, 综上所述,S1=S2.
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举一反三
一座抛物线拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时,水面宽6m,当水位上升1m时,水面宽多少m(结果保留根号).
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矩形ABCD的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系中,使AB在x轴的正半轴上,点A在点B的左侧,另两个顶点都在第一象限,且直线y=x-1经过这两个顶点中的一个. (1)求A、B、C、D四点坐标; (2)以AB为直径作⊙M,记过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P. ①若P点在⊙M和矩形内,求a的取值范围; ②过点C作CF切⊙M于E,交AD于F,当PF∥AB时,求抛物线的函数解析式. |
如图所示的平面直角坐标系中,有一条抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3). (1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式; (2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到A、C两点距离之和最小?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. |
如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点,A在B的左侧,A坐标为(-1,0)与y轴交于点C(0,3)△ABC的面积为6. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴与直线BC相交于点M,点N为x轴上一点,当以M,N,B为顶点的三角形与△ABC相似时,请你求出BN的长度; (3)设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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数学课上,老师提出: 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在x轴上,且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线,分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H,记点C、D的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH. 同学发现两个结论: ①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②数值相等关系:xC•xD=-yH (1)请你验证结论①和结论②成立; (2)请你研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,其他条件不变,结论①是否仍成立(请说明理由); (3)进一步研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,又将条件“y=x2”改为“y=ax2(a>0)”,其他条件不变,那么xC、xD与yH有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由) |
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