已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1
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已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),顶点M的纵坐标为-4,若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根,且x21+x22=10. (1)求A、B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式及点C的坐标; (3)在抛物线上是否存在点P,使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根, ∴x1+x2=2(m-1),x1•x2=m2-7. 又∵x12+x22=10, ∴(x1+x2)2-2x1x2=10, ∴[2(m-1)]2-2(m2-7)=10, 即m2-4m+4=0. 解得:m1=m2=2. 将m=2代入方程x2-2(m-1)x+m2-7=0, 得:x2-2x-3=0, 解得:x1=-1,x2=3. ∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).
(2)因为抛物线与x轴的交点为A(-1,0)、B(3,0),由对称性可知,顶点M的横坐标为1,则顶点M的坐标为(1,-4). ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 在y=x2-2x-3中, 令x=0,得y=-3. ∴点C的坐标为(0,-3).
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点D, 则AO=OD=1,DB=2,OC=3, DM=4,AB=4. ∴S四边形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB =•AO•CO+(CO+MD)+DB•MD =×1×3+×(3+4)×1+×2×4=9. 设P(x0,y0)为抛物线上一点, 则S△PAB=AB•|y0|. 若S△PAB=2S四边形ACMB, 则•AB•|y0|=18, ∴丨y0丨=9,y0=±9. 将y0=9代入y=x2-2x-3中,得x2-2x-3=9, 即x2-2x-12=0, 解得:x1=1-,x2=1+. 将y0=-9代入y=x2-2x-3中,得:x2-2x-3=-9, 即x2-2x+6=0. ∵△=(-2)2-4×1×6=-20<0, ∴此方程无实数根. ∴符合条件的点P有两个:P1(1-,9),P2(1+,9).
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举一反三
如图,小明把一张长为20cm,宽为10cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子.设剪去的正方形边长为x(cm),折成的长方体盒子的侧面积为y(cm2),底面积为S(cm2). (1)求S与x之间的函数关系式,并求S=44(cm2)时x的值;(结果可保留根式) (2)求y与x之间的函数关系式;在x的变化过程中,y会不会有最大值?x取何值时取得最大值,最大值是多少?
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已知二次函数y=x2-2mx+m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标; (3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
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如图,抛物线y=x2+mx+n交x轴于A、B两点,直线y=kx+b经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M(1,2),且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称. (1)求这条抛物线的函数关系式; (2)根据图象,写出函数值y为负数时,自变量x的取值范围; (3)设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P(x,y)为直线AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q.当-1≤x≤1.5时,求线段PQ的最大值.
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在Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC,AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长是x,矩形APQR面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线上的一部分. (1)求AB的长; (2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
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如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m. (1)求抛物线的解析式; (2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗? (3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗? |
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