已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C。（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C。
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设直线l解析式为y=kx+b，
将A（6，0）和B（0，12）代入，
得：，
解得：，
∴直线l解析式为y=-2x+12； （2）解方程组：，
得：，
∴点C的坐标为（4，4），
∴S_△COP=x×4=2x；
∵PD∥l，
∴△OPD∽△OAC，
∴，
而，
∴，
即，
∴△PCD的面积S与x的函数关系式为：
S=-x²+2x，
∵S=-（x-3）²+3，
∴当x=3时，S有最大值，最大值是3；（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形，
∵点C的坐标为（4，4），A（6，0），
根据P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A时分别求出即可，
当P₁C=CA时，P₁（2，0），
当P₂A=AC时，P₂（6-2，0），
当P₃A=AC时，P₃（6+2，0），
当P₄C=P₄A时，P₄（1，0），
∴点P的坐标分别为： P₁（2，0），P₂（6-2，0），P₃（6+2，0），P₄（1，0）。