⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点．求证：点A是△BCD的内心．

题型：不详难度：来源：

⊙O₂与⊙O₁交于A，B两点，射线O₁A交⊙O₂于C点，射线O₂A交⊙O₁于D点．求证：点A是△BCD的内心．

答案

证明：设两圆为⊙O、⊙Q，如图
延长CA交⊙O₁于M点，延长DA交⊙O₂于N点，连接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O₁的直径，AN是⊙O₂的直径，
∴∠MDN=∠ACN=90°，
∴C、D、M、N四点共圆，
∴∠DMC=∠DNC，
∵∠DMC=∠DBA，∠DNC=∠ABC，
∴∠DBA=∠ABC，
∴点A在∠DBC的角平分线上，
∵C、D、M、N四点共圆，
∴∠DCM=∠DNM，
∵∠DNM=∠ACB，
∴∠DCM=∠ACB，
∴点A在∠DCB的角平分线上，
同理：点A在∠CDB的角平分线上，
∴点A是△CDB的三个角平分线的交点，
∴点A是△BCD的内心．